虽然你没有工伤保险且未签订劳动合同，但在工作中因塔吊下落导致右手指开放性骨折，这种情况仍可以通过一系列途径来维护自身权益，以下为你详细分析及提供建议：

    确定劳动关系

   由于没有签订劳动合同，首先需要证明你与用人单位之间存在事实劳动关系，这是后续申请工伤认定的重要前提。你可以收集以下证据：

    工资支付凭证或记录 ：如银行转账记录、工资条等，上面可能会显示用人单位的名称、转账信息等，能证明你从该单位获得劳动报酬。

    工作证、服务证等证件 ：这些证件通常会印有单位名称、你的个人信息以及岗位等内容，是证明你在该单位工作的直接证据。

    考勤记录 ：可以是纸质的考勤表，也可以是电子考勤记录，能证明你在该单位的工作时间和出勤情况。

    其他劳动者的证言 ：找一起工作的同事为你作证，证明你在该单位工作以及受伤的具体情况。

    申请工伤认定

   在确定劳动关系后，你需要在事故伤害发生之日起1年内，向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。申请时需提交以下材料：

    工伤认定申请表 ：可在社会保险行政部门官网下载或到其办公地点领取，按照要求填写个人信息、事故发生经过等内容。

    劳动关系证明材料 ：即前面收集的能证明你与用人单位存在事实劳动关系的证据。

    医疗机构出具的诊断证明书 ：需要有医生的签字和医院的盖章，证明你的受伤情况。

    进行劳动能力鉴定

   如果工伤认定成功，在伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，你可以向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请。鉴定的目的是确定你的伤残等级，这将直接影响到你能获得的赔偿金额。申请劳动能力鉴定需提交以下材料：

    劳动能力鉴定申请表 ：同样可在相关部门官网下载或现场领取。

    工伤认定决定书 ：即社会保险行政部门作出的认定你为工伤的文件。

    有效的诊断证明、按照医疗机构病历管理有关规定复印或者复制的检查、检验报告等完整病历材料 ：确保病历材料能全面反映你的受伤情况和治疗过程。

    要求用人单位承担赔偿责任

   因为用人单位没有为你缴纳工伤保险，根据《工伤保险条例》的规定，用人单位需要按照本条例规定的工伤保险待遇项目和标准支付费用。赔偿项目可能包括：

    医疗费 ：包括你因治疗手指骨折所花费的挂号费、检查费、治疗费、药费等。

    停工留薪期工资 ：在你因工伤需要暂停工作接受治疗的期间，用人单位应按照你原工资福利待遇按月支付工资。

    一次性伤残补助金 ：根据你的伤残等级，按照一定的标准支付。例如，十级伤残为7个月的本人工资。

    一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金 ：具体标准由省、自治区、直辖市人民政府规定，在你与用人单位解除或者终止劳动关系时支付。

    法律途径维权

   如果用人单位拒绝承担赔偿责任，你可以通过以下法律途径解决：

    劳动仲裁 ：向用人单位所在地或者劳动合同履行地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁是解决劳动争议的前置程序，需要在知道或者应当知道其权利被侵害之日起1年内提出申请。

    民事诉讼 ：如果对仲裁裁决不服，你可以在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。

   在整个维权过程中，建议你及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。同时，要注意收集和保存好相关证据，确保自己的诉求能够得到支持。