在这种情况下，是否需要承担责任需要分情况来看：

    若房屋登记在夫妻双方名下

    一般情况 ：婆婆婚前出资购买的房子，如果登记在夫妻双方名下，通常会被视为对夫妻双方的赠与，该房屋属于夫妻共同财产。在夫妻双方协商一致的情况下将房子卖掉，是对夫妻共同财产的处分行为，这种处分是合法有效的。在离婚时，不需要承担额外的责任。

    后续处理 ：卖房款也属于夫妻共同财产，离婚时一般按照法律规定进行分割，双方可以自行协商分割方式，若协商不成，可向法院起诉，由法院根据财产的具体情况，按照照顾子女、女方和无过错方权益的原则判决。

    若房屋登记在老公一人名下

    情况一：属于老公个人财产

    - 婆婆婚前出资购买且登记在老公一人名下，该房屋可能属于老公的婚前个人财产。虽然老公允许卖房，但从财产性质上看，这属于对个人财产的处分。如果后续老公及其家人没有异议，那么在离婚时通常也无需承担责任。

    - 不过，如果老公在离婚时反悔，认为卖房行为给自己造成了损失，要求你承担赔偿责任，在某些情况下可能会存在一定的法律争议。比如，卖房所得款项被你不合理使用或转移，导致老公利益受损，老公可能会通过法律途径要求你赔偿。

    情况二：存在特殊约定视为夫妻共同财产

    - 如果有证据证明，虽然房屋登记在老公一人名下，但夫妻双方有书面约定该房屋为夫妻共同财产，那么卖房行为同样属于对夫妻共同财产的合法处分，离婚时无需承担额外责任，卖房款按照夫妻共同财产进行分割。