首先，要明确“案底”在法律上通常指的是犯罪记录。初次吸毒被抓行政拘留不会留下犯罪案底。

    法律依据

   依据《治安管理处罚法》第七十二条，吸食、注射毒品的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处二千元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。吸毒属于违反治安管理的行为，并非犯罪行为。

    具体解释

   行政拘留是一种行政处罚措施，是对违反治安管理但尚不构成犯罪的人实施的短期内限制人身自由的处罚方式。而犯罪案底是指经人民法院依法判决确定有罪的记录。所以，单纯因初次吸毒被行政拘留，不会留下犯罪意义上的案底。

   不过，虽然没有犯罪案底，但公安机关会有相关的违法记录。这些记录会被留存于公安系统内部，在一些特定的情况下，如需要进行背景审查等，可能会被查询到。并且，吸毒被处理后，会进入动态管控系统，在一定期限内可能会受到公安机关的重点关注和检查。