根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，在这种情况下员工提出签订无固定期限劳动合同的要求是合理合法的。以下为你详细分析：

    法律依据

   《劳动合同法》第十四条规定，用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：

    - 劳动者在该用人单位连续工作满十年的；

    - 用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；

    - 连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。

    具体分析

   公司与员工已经连续签订了三次一年期的固定期限劳动合同，满足“连续订立二次固定期限劳动合同”这一条件。只要员工不存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位的规章制度、严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害；劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作；劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作等），当员工提出订立无固定期限劳动合同时，公司应当与其订立无固定期限劳动合同。

    公司的应对建议

    依法签订合同 ：如果员工符合签订无固定期限劳动合同的条件且提出了要求，公司应按照法律规定与其签订无固定期限劳动合同，避免因违法不签订而面临支付双倍工资等法律风险。

    协商沟通 ：公司可以与员工进行友好协商，了解员工的需求和想法。若员工在某些方面存在疑虑或有其他特殊要求，通过协商可能达成双方都能接受的解决方案。