遇到老挝护照在湖南停留期限截至5月24日，但当地相关部门不给续签这种情况，可以按以下步骤处理：

    了解不续签原因

   1. 沟通询问

    - 首先要与市里负责出入境管理的部门（通常是出入境管理局）进行积极沟通，以礼貌和诚恳的态度询问不给续签的具体理由。比如，可能是因为申请人提交的材料不完整、不符合规定，或者存在违反相关法律法规等情况。

    - 例如，如果是材料不完整，要详细记录还需要补充哪些材料。

   2. 查阅政策依据

    - 自行查阅中国关于外国人签证延期、停留居留许可等方面的法律法规和政策文件，如《中华人民共和国出境入境管理法》《外国人入境出境管理条例》等，确认当地部门的决定是否有充分的政策依据。

    补充完善材料和整改

   1. 按要求补充材料

    - 如果是材料问题，按照要求尽快准备和补充。比如，若需要提供更详细的在华行程安排、经济来源证明等，要及时准备齐全并重新提交申请。

   2. 纠正问题

    - 如果是因为存在一些违规行为导致不续签，要积极采取措施纠正。例如，如果有逾期停留的轻微记录，主动承认错误并说明原因，争取宽大处理。

    申请行政复议或提起行政诉讼

   1. 行政复议

    - 如果认为市里相关部门不续签的决定不合理，且有充分的理由和证据支持自己的续签申请，可以在规定的时间内（一般是自知道该具体行政行为之日起六十日内）向其上级主管部门或同级人民政府申请行政复议。

    - 申请时要准备好相关的材料，包括个人身份证明、护照、原签证、不续签决定书等，同时撰写行政复议申请书，阐述自己的诉求和理由。

   2. 行政诉讼

    - 如果行政复议结果仍不能令你满意，还可以在收到复议决定书之日起十五日内向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。不过行政诉讼程序相对复杂，建议寻求专业律师的帮助。

    合理安排后续行程

   1. 按时离境

    - 如果经过努力仍然无法续签，要严格遵守规定，在允许停留期限（5月24日）前安排好离境事宜，避免非法滞留带来更严重的后果，如被限制再次入境中国等。

   2. 后续入境规划

    - 如果后续还有来中国的需求，可以提前了解正确的申请流程和条件，重新申请合适的签证入境。