一般情况下，银行起诉时是否会冻结子女的卡需要分情况来看：

    子女并非案件当事人

    通常不会冻结

   如果银行起诉的对象是父母等其他主体，而子女不是该债务纠纷案件的被告，与该债务没有直接的关联，那么基于合同相对性和责任自负原则，银行不能直接要求冻结子女的银行卡。法院也不会在没有合法依据的情况下主动去冻结子女的银行卡。

    特殊情况可能冻结

    财产混同 ：若父母和子女存在财产混同的情况，例如家庭经营中，父母和子女的资金没有明确区分，都存于子女名下银行卡，且该资金实际用于家庭共同经营所产生债务的资金流转，银行有可能申请法院对该银行卡进行冻结，但银行需要承担相应的举证责任，证明该财产属于应被执行的范畴。

    恶意转移财产 ：如果父母在知晓可能被银行起诉或已经被起诉后，为了逃避债务，将自己名下的财产转移到子女银行卡中，银行可以向法院申请调查并冻结相关银行卡。一旦查证属实，法院可能会认定这种转移行为无效，并对该银行卡进行冻结。

    子女是案件当事人

    会被冻结

   如果子女是该债务纠纷的共同被告，比如子女作为债务的担保人、共同借款人等，在银行起诉并申请财产保全，或者在胜诉后申请强制执行时，法院是可以根据银行的申请对子女的银行卡进行冻结的。在这种情况下，子女需要对债务承担相应的法律责任，其名下的财产包括银行卡内的资金都可能被用于偿还债务。