在这种情况下，员工后续要求赔偿是有可能合理的，以下为你详细分析：

    未签订劳动合同

   根据《中华人民共和国劳动合同法》规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。虽然店开张未到一个月，但如果后续超过一个月仍未签订劳动合同，员工有权主张从第二个月起的双倍工资赔偿。

    未购买员工保险

   按照《中华人民共和国社会保险法》的要求，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。如果员工在工作期间受伤，因为单位未购买工伤保险，那么原本可以由工伤保险基金支付的费用就需要由用人单位承担。这些费用可能包括：

    医疗费用 ：除了已经支付的医院医药费，如果后续还有因工伤产生的治疗费用、康复费用、辅助器具费用等，用人单位仍需承担。

    停工留薪期工资 ：职工因工作遭受事故伤害或者患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。

    伤残待遇 ：如果员工的伤情被认定为伤残，还可能涉及一次性伤残补助金、伤残津贴、一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金等赔偿项目。具体的赔偿标准根据伤残等级确定。

    人身损害赔偿

   即使不属于工伤，如果员工是在工作过程中因单位的过错导致受伤，根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，单位也需要承担相应的赔偿责任。赔偿范围包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金。

   所以，员工后续要求赔偿是否合理，需要结合具体情况来判断。如果员工提出的赔偿要求有合理的法律依据和事实支撑，那么单位可能需要承担相应的赔偿责任。建议你及时与员工沟通，了解其赔偿诉求，并咨询专业律师，积极妥善地处理此事。同时，尽快与员工签订书面劳动合同并依法为其缴纳社会保险，以避免后续可能出现的法律风险。