旧手机虚假宣传的监管部门主要为市场监督管理部门，同时根据宣传渠道和性质的不同，还可能涉及其他相关部门。以下是对此问题的详细分析：
一、市场监督管理部门

1. 主要职责：市场监督管理部门是虚假宣传监管的核心部门，负责全面监督市场主体的经营行为，包括广告宣传。对于旧手机的虚假宣传，如夸大性能、虚构功能等，市场监督管理部门将依法进行查处。
2. 法律依据：根据《中华人民共和国反不正当竞争法》第八条，经营者不得对其商品的性能、功能、质量等作虚假或者引人误解的商业宣传，欺骗、误导消费者。市场监督管理部门有权依据该法对虚假宣传行为进行处罚。
   二、其他相关部门
3. 广播电视部门：如果旧手机的虚假宣传是通过广播、电视等平台进行的，广播电视部门将负责审查节目内容，确保广告宣传活动符合规定。对于违规的虚假宣传，该部门将责令整改并对相关责任方进行处罚。
4. 互联网信息办公室：随着互联网的普及，如果旧手机的虚假宣传出现在网站、社交媒体、网络直播等平台上，互联网信息办公室将负责监督管理互联网信息内容，对虚假宣传行为进行治理，要求平台方整改并对发布者进行查处。