老师触犯法律用刀砍人，若构成刑事犯罪，通常会被开除。以下是对此问题的详细分析：
一、构成刑事犯罪的情况

1. 故意伤害或杀人：根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条和第二百三十二条，老师若用刀砍人，造成他人轻伤、重伤或死亡，将构成故意伤害罪或故意杀人罪。若被判处有期徒刑以上刑罚，依据《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十二条，老师作为事业单位工作人员，将给予开除处分。
2. 其他刑事犯罪：若老师的行为构成其他刑事犯罪，如寻衅滋事罪（《中华人民共和国刑法》第二百九十三条），且被判处有期徒刑以上刑罚，同样会面临开除处分。
   二、不构成刑事犯罪但违反治安管理的情况
   若老师的行为未达到刑事犯罪程度，但违反了治安管理，如殴打他人或故意伤害他人身体但情节较轻，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》，可能会受到行政处罚，如拘留或罚款。虽然这种情况不直接导致开除，但若学校内部规章制度将此类行为视为严重违纪，老师仍可能面临开除等严厉处分。
   三、教师资格与职业处分的关系
   根据《中华人民共和国教师法》第十四条，老师若因故意犯罪受到有期徒刑以上刑事处罚，将丧失教师资格。丧失教师资格意味着无法继续从事教育工作，学校通常会据此作出开除决定。