小区大门私自安装倒刺不合法。以下是对此问题的详细分析：
一、私自安装倒刺的违法性基础

1. 侵犯公共权益：小区大门作为公共区域的一部分，其使用和管理应遵循公共利益原则。私自安装倒刺可能妨碍业主的正常通行，侵犯业主的通行自由权，违反《物业管理条例》中关于保护业主合法权益的规定。
2. 安全隐患：倒刺的安装可能构成安全隐患，对过往行人造成伤害。根据相关安全规范，公共区域应确保安全无隐患，私自安装倒刺显然不符合这一要求。
   二、合法安装的必要条件
3. 合法决策程序：若小区需采取安全措施，如安装门禁系统，应由业主大会或业主委员会经过合法程序决议，确保费用来源合理，并征得业主同意。私自安装倒刺未经过此类合法程序，因此不合法。
4. 保护业主权益：任何安全措施的实施均不得侵犯业主的合法权益，包括隐私权、通行自由等。私自安装倒刺显然未考虑业主权益，易引发纠纷。
5. 符合技术标准和规范：即使安装安全措施，也应符合国家和地方的相关技术标准和安全规范。倒刺的安装不仅不符合安全规范，还可能对公共安全构成威胁。
   三、可能涉及的法律责任
6. 民事责任：若私自安装倒刺导致业主或他人受伤，相关责任方需承担民事赔偿责任，包括医疗费、误工费等。
7. 行政责任：根据《物业管理条例》等相关规定，物业或相关责任方若未经合法程序擅自改变公共区域用途或设置障碍物，可能面临行政处罚。